Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Grafis dan Analitis- Pernahkah
Anda membayangkan jika Anda berenang di sungai searah dengan aliran
sungai, kemudian Anda tiba-tiba berbalik arah 90° dari arah pergerakan
semula? Apakah posisi terakhir Anda tepat sesuai keinginan Anda? Tentu
tidak, arah akhir posisi Anda tidak akan membentuk sudut 90° dari posisi
semula karena terdapat hambatan arus sungai yang membuat arah gerak
Anda tidak tepat atau menyimpang. Anda dapat menentukan posisi akhir
Anda dengan cara menjumlahkan vektor gerak Anda, baik perpindahannya
maupun kecepatannya. Apakah Anda mengetahui cara menjumlahkan dua buah
vektor?
Penjumlahan vektor tidak sama dengan
penjumlahan skalar. Hal ini karena vektor selain memiliki nilai, juga
memiliki arah. Vektor yang diperoleh dari hasil penjumlahan beberapa
vektor disebut vektor resultan. Berikut ini akan dibahas metode-metode
untuk menentukan
vektor resultan.
1. Resultan Dua Vektor Sejajar
Misalnya, Anda bepergian mengelilingi
kota Palu dengan mengendarai sepeda motor. Dua jam pertama, Anda
bergerak lurus ke timur dan menempuh jarak sejauh 50 km. Setelah
istirahat secukupnya, Anda kembali melanjutkan perjalanan lurus ke timur
sejauh 30 km lagi. Di lihat dari posisi asal, Anda telah berpindah
sejauh sejauh 50 km + 30 km = 80 km ke timur. Dikatakan, resultan
perpindahan Anda adalah 80 km ke timur. Secara grafis, perpindahan Anda
seperti diperlihatkan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Menjumlahkan dua vektor searah.
Sedikit berbeda dengan kasus tersebut,
misalnya setelah menempuh jarak lurus 50 km ke timur, Anda kembali lagi
ke barat sejauh 30 km. Relatif terhadap titik asal, perpindahan Anda
menjadi 50 km – 30 km = 20 km ke timur. menjumlahkan dua buah vektor
sejajar mirip dengan menjumlahkan aljabar biasa. Secara matematis,
resultan dua buah vektor sejajar, yakni, sebagai berikut. Jika vektor A dan B searah, besar vektor resultan R, adalah
R = A+B
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor A dan B. Sebaliknya, jika kedua vektor tersebut berlawanan, besar resultannya adalah
R = A- B
dengan arah vektor R sama dengan arah vektor yang terbesar.
2. Resultan Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus
Misalnya, Anda memacu kendaraan Anda
lurus ke timur sejauh 40 km dan kemudian berbelok tegak lurus menuju
utara sejauh 30 km. Secara grafis, perpindahan Anda seperti
diperlihatkan pada Gambar 2.5. Besar resultan perpindahannya, r, diperoleh menggunakan Dalil Pythagoras, yakni sebagai berikut
Gambar 2.5 Menjumlahkan dua vektor yang saling tegak lurus.
r = √x2 + y2 = √402 + 302 = 50km
dan arahnya
tanѲ = y/x = 30/40 = 37o
terhadap sumbu-x positif (atau 37° dari arah timur).
Dari contoh kasus tersebut, jika dua buah vektor, A dan B, yang saling tegak lurus akan menghasilkan vektor resultan, R, yang besarnya
R = √A2 + B2
dengan arah
θ = tan−1 (B/A)
terhadap arah vektor A dengan catatan vektor B searah sumbu-y dan vektor A searah sumbu-x.
3. Resultan Dua Vektor yang Mengapit Sudut
Sekarang tinjau dua buah vektor, A dan B, yang satu sama lain mengapit sudut seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.6 (a). Gambar vektor resultannya dapat diperoleh dengan cara menempatkan pangkal vektor B di ujung vektor A. Selanjutnya, tarik garis dari titik pangkal vektor A ke titik ujung vektor B dan buatkan panah tepat di ujung yang berimpit dengan ujung vektor B. Vektor inilah, R, resultan dari vektor A dan B. Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar 2.6 (b).
Gambar 2.6 (a) Vektor A dan vektor B mengapit sudut. (b) Menggambarkan vektor resultan dari vektor A dan vektor B.
Besar vektor resultan, R, dapat ditentukan secara analitis sebagai berikut.
R = √A2 + B2 + 2AbcosѲ
4. Selisih Dua Vektor yang Mengapit Sudut
Vektor A dan vektor -A, memiliki besar yang sama, yakni |A| = |–A| = A, tetapi arahnya berlawanan. Selisih dari dua buah vektor, misalnya vektor A – B, secara grafis sama dengan jumlah antara vektor A dan vektor –B. Secara matematis, vektor selisihnya ditulis R = A – B. Secara analitis, besar vektor selisihnya diperoleh:
R = √A2 + B2 – 2AbcosѲ
5. Melukis Resultan Beberapa Vektor dengan Metode Poligon
Jika terdapat tiga buah vektor, A, B, dan C, yang besar dan arahnya berbeda seperti diperlihatkan pada Gambar 2.10 (a), resultannya dapat diperoleh dengan cara menggunakan metode poligon, yakni sebagai berikut.
a. Hubungkan titik tangkap vektor B pada ujung vektor A dan titik pangkal vektor C pada ujung vektor B.
b. Buat vektor resultan, R, dengan titik tangkap sama dengan titik pangkal vektor A dan ujung panahnya tepat di titik ujung vektor C. Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar 2.10 (b).
Secara matematis, vektor resultan pada Gambar 2.10 ditulis sebagai berikut.
R = A + B + C
Menjumlahkan Vektor dengan Metode Uraian
Dalam beberapa kasus, seringkali Anda
menjumlahkan beberapa vektor yang lebih dari dua buah. Secara grafis,
metode yang digunakan adalah metode poligon, seperti yang telah
disinggung sebelumnya. Akan tetapi, bagaimanakah cara menentukan besar
dan arah vektor resultannya? Salah satu metode yang digunakan adalah
metode uraian, seperti yang akan di bahas pada sub-subbab berikut ini.
1. Menguraikan Vektor Menjadi Vektor Komponennya
Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi
dua buah vektor yang saling tegak lurus. Vektor-vektor baru hasil uraian
disebut vektor-vektor komponen. Ketika sebuah vektor telah diuraikan
menjadi vektor-vektor komponennya, vektor tersebut dianggap tidak ada
karena telah diwakili oleh vektor-vektor komponennya. Sebagai contoh,
ketika Anda menguraikan sekarung beras 50 kg menjadi dua karung dengan
masing-masing 20 kg dan 30 kg, apakah karung yang berisi 50 kg tetap
ada?
Gambar 2.12 Menguraikan sebuah vektor menjadi dua vektor komponen yang saling tegak lurus.
Gambar 2.12 memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. Ax adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan Ay adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi sin θ dan cos θ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut.
Ax = A cos θ dan Ay = A sinθ
Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan
A = √Ax2+Ay2
Selanjutnya, hubungan antara Ax dan Ay diberikan oleh
tan θ = Ay/Ax
2. Menjumlahkan Vektor Melalui Vektor-Vektor Komponennya
Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada
koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian. Berikut
adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan
dengan metode uraian.
a. Buat koordinat kartesius x-y.
b. Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.
c. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.
d. Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu, misalnya
x ΣR = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.
y ΣR = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.
e. Besar vektor resultannya
R = √(ΣRx)2 + (ΣRy2)
dan arahnya terhadap sumbu-x positif
tan θ = ΣRx/ΣRy